Pourquoi la machine utilise le binaire ?

L’ordinateur travaille uniquement avec des 0 et des 1 et ceci pour une bonne raison…

En réalité n’importe quelle machine est construite sur des transistors, le but d’un transistor est de laisser passer le courant ou au contraire de le bloquer, un peu comme une porte.

Chaque transistor peut être dans 2 états uniquement :

• 0 et dans ce cas le courant ne peut pas passer
• 1 et dans ce cas le courant peut passer

C’est pour cette raison que l’ordinateur travaille uniquement avec des 0 et des 1 : pour représenter la réalité électrique des transistors, utiliser d’autres chiffres serait donc inutile

Notion de système numérique et de base

Pour compter, on utilise un système numérique, la base est le nombre de chiffres d’un système numérique.

Base 10

En tant qu’humain, nous utilisons un système numérique de base 10, (probablement parce que nous avons 10 doigts et que c’est pratique) :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : 10 chiffres différents donc la base est 10.

Base 8

Tu l’as compris la base 8 contient donc uniquement 8 chiffres :

0 1 2 3 4 5 6 7 : 8 chiffres différents donc la base est 8.

Base 2

Enfin si on veut faire du binaire, on sera en base 2 et on aura donc que 2 chiffres :

0 1 : 2 chiffres différents donc la base est 2.

Base 16

L’Hexadecimal est un système numérique de base 16, donc on a 16 chiffres, le problème c’est qu’on a pas de chiffre pour représenter 11 par exemple, en effet on est obligé, dans notre base 10 d’utiliser 2 chiffres pour écrire 11.

Pour résoudre ce problème on va utiliser des lettres pour représenter les chiffres 10 à 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F : 16 chiffres différents donc base 16

Comprendre notre base 10

Prenons un nombre comme 472, on va écrire la base 10 en bas à droite pour préciser la base.

On va pouvoir décomposer chaque chiffre de ce nombre comme une puissance de 10.

$$ 472_{10} $$

• On commence avec le chiffre le plus à droite, 2 et on va le multiplier par 10 (parce que c’est la base) à la puissance du rang (ici 0 car on est sur le chiffre le plus à droite) : $$ 10^0 × 2 = 2 $$

• On fait pareil avec le chiffre 7 et on va le multiplier par 10 à la puissance du rang, ici 1 : $$ 10^1 × 7 = 70 $$

• On fait pareil avec le chiffre 4 et on va le multiplier par 10 à la puissance du rang, ici 2 : $$ 10^2 × 4 = 400 $$

Enfin si on fait la somme de tout ça on obtient : $$ 2 + 70 + 400 = 472 $$

C’est le même principe avec d’autres bases, mais au lieu d’utiliser des puissances de 10, on utilisera des puissances de la taille de la base :

• Dans une base 2 on utilisera des puissances de 2
• Dans une base 8 on utilisera des puissances de 8
• Dans une base 16 on utilisera des puissances de 16

Décoder un nombre en binaire

Imaginons que l’on ait le nombre suivant en binaire : $$110_2$$

Pour l’écrire dans notre base 10 on va utiliser la technique précédente :

• Le 1er chiffre (0) ici peut s’écrire $$2^0 × 0 = 0 $$
• Le 2ème chiffre (1) peut s’écrire $$2^1 × 1 = 2 $$
• Le 3ème chiffre (1) peut s’écrire $$2^2 × 1 = 4 $$

Si l’on ajoute le tout on obtient $$ 0 + 2 + 4 = 6 $$

Donc au final 110 en base 2 correspond à 6 en base 10 : $$ 110_2 = 6_{10} $$